結城さんの正八面体クイズ

結論からいうと赤い面がない一筆書きの経路は存在しない。
理由は赤い面を作らない必要条件（矢印がループしない）と一筆書きの必要条件（ある点に入る矢印と出る矢印の数が等しい）を同時に満たせないことから。
携帯なので詳しい説明は省略。写真参照（見えるかな？）